Kalkulus Contoh

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ terhadap $a$ adalah $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ adalah $f' (g (a)) g' (a)$ di mana $f (a) = a^{4}$ dan $g (a) = a + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a + b$ terhadap $a$ adalah $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ adalah $n a^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.4

Karena $b$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $b$ terhadap $a$ adalah $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.2.6

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $- {(a - b)}^{4}$ terhadap $a$ adalah $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ adalah $f' (g (a)) g' (a)$ di mana $f (a) = a^{4}$ dan $g (a) = a - b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a - b$ terhadap $a$ adalah $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ adalah $n a^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Langkah 1.3.5

Karena $- b$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $- b$ terhadap $a$ adalah $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 1.3.7

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Langkah 1.3.8

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $4$ dari $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Langkah 1.4.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Langkah 1.4.2.2

Gunakan Teorema Binomial.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Langkah 1.4.2.3.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Langkah 1.4.2.4

Terapkan sifat distributif.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Langkah 1.4.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Langkah 1.4.2.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Langkah 1.4.2.5.3

Kalikan $- - b^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Langkah 1.4.2.5.3.2

Kalikan $b^{3}$ dengan $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Langkah 1.4.2.6

Hilangkan tanda kurung.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Langkah 1.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kurangi $a^{3}$ dengan $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ dan $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Langkah 1.4.3.3

Kurangi $3 a b^{2}$ dengan $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ dan $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Langkah 1.4.4

Tambahkan $3 a^{2} b$ dan $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Langkah 1.4.5

Tambahkan $b^{3}$ dan $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Langkah 1.4.6

Terapkan sifat distributif.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Langkah 1.4.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Langkah 1.4.8

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ terhadap $a$ adalah $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Langkah 2.1.2

Karena $8 b^{3}$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $8 b^{3}$ terhadap $a$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $24 b$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $24 a^{2} b$ terhadap $a$ adalah $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ adalah $n a^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$0 + 48 b a$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $0$ dan $48 b a$ .

$48 b a$

Langkah 2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $48 b$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $48 a b$ terhadap $a$ adalah $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ adalah $n a^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Langkah 4

Karena $48 b$ konstan terhadap $a$ , turunan dari $48 b$ terhadap $a$ adalah $0$ .

$f^{4} (a) = 0$