Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1}$

Langkah 1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{25} 2^{i} + \sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$

Langkah 2

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{25} 2^{i}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2.2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2^{i + 1}$ dan $2^{i}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2^{i}$ dari $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{2}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$r = 2$

Langkah 2.3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Langkah 2.3.2

Evaluasi eksponennya.

$a = 2$

Langkah 2.4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$2 \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $25$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $33554432$ .

$2 \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 2.5.1.3

Kurangi $33554432$ dengan $1$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Langkah 2.5.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 (\frac{- 33554431}{- 1})$

Langkah 2.5.3

Bagilah $- 33554431$ dengan $- 1$ .

$2 \cdot 33554431$

Langkah 2.5.4

Kalikan $2$ dengan $33554431$ .

$67108862$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 3.2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{- 2^{i + 1 - 1}}{- 2^{i - 1}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Langkah 3.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2^{i + 1 - 1}$ dan $2^{i - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Faktorkan $2^{i - 1}$ dari $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Langkah 3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Langkah 3.2.2.2.2.4

Bagilah $2^{i + 0 - (i - 1)}$ dengan $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Langkah 3.2.2.3

Tambahkan $i$ dan $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Langkah 3.2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Langkah 3.2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Langkah 3.2.2.5

Kurangi $i$ dengan $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Langkah 3.2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = 2^{1}$

Langkah 3.2.2.7

Evaluasi eksponennya.

$r = 2$

Langkah 3.3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $- 2^{i - 1}$ .

$a = - 2^{1 - 1}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = - 2^{0}$

Langkah 3.3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$a = - 1$

Langkah 3.4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$- \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $25$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $33554432$ .

$- \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 3.5.1.3

Kurangi $33554432$ dengan $1$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Langkah 3.5.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{- 33554431}{- 1}$

Langkah 3.5.3

Bagilah $- 33554431$ dengan $- 1$ .

$- 1 \cdot 33554431$

Langkah 3.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $33554431$ .

$- 33554431$

Langkah 4

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$67108862 - 33554431$

Langkah 5

Kurangi $33554431$ dengan $67108862$ .

$33554431$