Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{n}}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{9^{n + 1}}}{\frac{1}{9^{n}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = \frac{1}{9^{n + 1}} \cdot 9^{n}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{9^{n + 1}}$ dan $9^{n}$ .

$r = \frac{9^{n}}{9^{n + 1}}$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $9^{n}$ dan $9^{n + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $9^{n + 1}$ dari $9^{n}$ .

$r = \frac{9^{n + 1} \cdot 9^{n - (n + 1)}}{9^{n + 1}}$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{9^{n + 1} \cdot 9^{n - (n + 1)}}{9^{n + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{9^{n + 1} \cdot 9^{n - (n + 1)}}{9^{n + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{9^{n - (n + 1)}}{1}$

Langkah 2.2.3.2.4

Bagilah $9^{n - (n + 1)}$ dengan $1$ .

$r = 9^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 9^{n - n - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$r = 9^{n - n - 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = 9^{0 - 1}$

Langkah 2.2.6

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$r = 9^{- 1}$

Langkah 2.2.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{9}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $n$ ke dalam $\frac{1}{9^{n}}$ .

$a = \frac{1}{9^{0}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 4.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a = 1$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{9}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{9 - 1}{9}}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$\frac{1}{\frac{8}{9}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 (\frac{9}{8})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{9}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{9}{8}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{9}{8}$

Bentuk Desimal:

$1.125$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{1}{8}$