Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{8} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ dari ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.4

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$r = - \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 3.2.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ dengan $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.2.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 3.2.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 3.2.7

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a = 1$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$1 \frac{1 - {(- \frac{1}{3})}^{8}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1 - {(- \frac{1}{3})}^{8}}{1 - - \frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - {(- \frac{1}{3})}^{8}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{1}{3})}^{8})}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{1^{8}}{3^{8}})}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Pindahkan ${(- 1)}^{8}$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{1^{8}}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan ${(- 1)}^{8}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{8}}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{1^{8}}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.2.3

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{1^{8}}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $9$ .

$\frac{1 - \frac{1^{8}}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 - \frac{1}{3^{8}}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $8$ .

$\frac{1 - \frac{1}{6561}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{6561}{6561} - \frac{1}{6561}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{6561 - 1}{6561}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.2.8

Kurangi $1$ dengan $6561$ .

$\frac{\frac{6560}{6561}}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $- - \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{6560}{6561}}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Langkah 5.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{6560}{6561}}{1 + \frac{1}{3}}$

Langkah 5.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{6560}{6561}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Langkah 5.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{6560}{6561}}{\frac{3 + 1}{3}}$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\frac{\frac{6560}{6561}}{\frac{4}{3}}$

Langkah 5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{6560}{6561} \cdot \frac{3}{4}$

Langkah 5.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $4$ dari $6560$ .

$\frac{4 (1640)}{6561} \cdot \frac{3}{4}$

Langkah 5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1640}{6561} \cdot \frac{3}{4}$

Langkah 5.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1640}{6561} \cdot 3$

Langkah 5.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $3$ dari $6561$ .

$\frac{1640}{3 (2187)} \cdot 3$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1640}{3 \cdot 2187} \cdot 3$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1640}{2187}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1640}{2187}$

Bentuk Desimal:

$0.74988568 \dots$