Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.2.5.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.9

Kalikan $\cos (3 x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.10

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Langkah 3.11.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Langkah 3.11.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Langkah 3.12

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Langkah 3.14

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Langkah 3.15

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 3.16

Kalikan $5$ dengan $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{1}{5}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 11

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 12

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 13

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 14

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.5

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.1.7

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 16.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Langkah 16.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 16.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 16.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Langkah 16.4

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5}$