Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.2.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.5

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.6

Kalikan $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.6.1

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.6.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.6.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.2.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.4

Terapkan identitas pythagoras.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $\cos^{2} (x)$ dan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.5.5.2.4

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Langkah 4.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\cos (0)$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1$