Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\tan (10 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (10 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 1.3.3.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.6

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan $8$ dengan $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 10 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}$

Langkah 3.8.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Langkah 3.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Langkah 3.9

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \cdot 1)}$

Langkah 3.11

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \cdot 10}$

Langkah 3.12

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \cdot \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 3.13

Kalikan $10$ dengan $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2$ dari $8 \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 \sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (8 x)}{5 \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 5

Pindahkan suku $\frac{4}{5}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 8

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (10 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (10 x))}^{2}}$

Langkah 10

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Langkah 11

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan.

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 \sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Langkah 13.2

Faktorkan $\sec (10 \cdot 0)$ dari $\sec^{2} (10 \cdot 0)$ .

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 (\sec (10 \cdot 0) \sec (10 \cdot 0))}$

Langkah 13.3

Pisahkan pecahan.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec (10 \cdot 0)}$

Langkah 13.4

Tulis kembali $\sec (10 \cdot 0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}}$

Langkah 13.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}$ .

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Langkah 13.6

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Langkah 13.7

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (10 \cdot 0))$

Langkah 13.8

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 13.9

Pisahkan pecahan.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 13.10

Tulis kembali $\sec (0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 13.11

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{4}{5} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 13.12

Kalikan $\cos (0)$ dengan $1$ .

$\frac{4}{5} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Langkah 13.13

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos (0)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.13.1

Pindahkan $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Langkah 13.13.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Langkah 13.14

Kalikan $\cos^{2} (0)$ dengan $\cos (0)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.14.1

Pindahkan $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Langkah 13.14.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $\cos^{2} (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.14.2.1

Naikkan $\cos (0)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4}{5} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Langkah 13.14.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4}{5} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Langkah 13.14.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4}{5} \cos^{3} (0)$

Langkah 13.15

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot 1^{3}$

Langkah 13.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4}{5} \cdot 1$

Langkah 13.17

Kalikan $\frac{4}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{5}$