Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.2.3.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.3.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.3

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.5

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.6

Susun kembali faktor-faktor dari $\sec^{2} (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Langkah 3.7.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

Langkah 3.12

Kalikan $\frac{1}{1 + x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

Langkah 3.13

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Langkah 5

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (π x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Langkah 9

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 13.6

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$