Kalkulus Contoh

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $10$ dari $10 z^{4} - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $10$ dari $10 z^{4}$ .

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $10$ dari $- 20$ .

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $10$ dari $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Langkah 1.2

Faktorkan $z$ dari $z^{5} - 10 z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $z$ dari $z^{5}$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $z$ dari $- 10 z$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $z$ dari $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Langkah 2

Karena $10$ konstan terhadap $z$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Langkah 3

Biarkan $u = z (z^{4} - 10)$ . Kemudian $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ sehingga $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = z (z^{4} - 10)$ . Tentukan $\frac{d u}{d z}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ adalah $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ di mana $f (z) = z$ dan $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $z^{4} - 10$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.3.3

Karena $- 10$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 10$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.3.4

Tambahkan $4 z^{3}$ dan $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.4

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.6

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Langkah 3.1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

Langkah 3.1.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.8.1

Kalikan $z^{4} - 10$ dengan $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

Langkah 3.1.8.2

Tambahkan $4 z^{4}$ dan $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 6.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 6.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 6.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 6.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$