Kalkulus Contoh

$\int (x^{2} + 1) e^{2 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2} + 1$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x$

Langkah 2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ dan $x$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Langkah 2.5.2

Bagilah $e^{2 x} x$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 11.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.3.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.4.2

Kalikan $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.4.2.2

Kalikan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.5

Untuk menuliskan $- x e^{2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.6

Gabungkan $- x e^{2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.8.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.8.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.8.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.8.1.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.9

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.10

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.12

Tulis kembali $- (2 x - 1)$ sebagai $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$