Kalkulus Contoh

$\int \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \sqrt{x} + 8 x^{3} - e^{x} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 3.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 5.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 7.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 7.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 11

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 14

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Langkah 17

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int e^{x} d x$

Langkah 18

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (e^{x} + C)$

Langkah 19

Sederhanakan.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{4} - e^{x} + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{4} - e^{x} + C$