Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.4.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Langkah 1.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Langkah 1.8.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Langkah 1.8.4.4

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Langkah 1.8.4.5

Kalikan $- 12$ dengan $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Langkah 1.8.4.6

Tambahkan $6 x^{4}$ dan $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $15 x^{4} - 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $60 x^{3} - 72 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $60$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $60 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $3$ dengan $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72 x$ terhadap $x$ adalah $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 72$ dengan $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $180 x^{2} - 72$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $180$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $180 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Langkah 4.2.3

Kalikan $2$ dengan $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$360 x + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $360 x$ dan $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $360 x$ .

$360 x$