Kalkulus Contoh

$y = \ln (\sin (x))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 1.4.3

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 1.4.4

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Langkah 2

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \csc^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Langkah 3.4

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Langkah 3.6

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Langkah 3.7

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Langkah 3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \csc^{2} (x)$ dan $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.3

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.4

Kalikan $\csc^{2} (x)$ dengan $\csc^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.4.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.5.2

Tulis kembali $- 1 \csc^{4} (x)$ sebagai $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Langkah 4.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Langkah 4.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Langkah 4.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Langkah 4.8

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Langkah 4.9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Langkah 4.10

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Langkah 4.11

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Langkah 4.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Langkah 4.13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Langkah 4.14

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Langkah 4.15

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Langkah 4.16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Langkah 4.17

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Langkah 4.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Langkah 4.18.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Langkah 4.18.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Langkah 4.18.3

Susun kembali suku-suku.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$