Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 x + 1$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.10

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Kurangi $2 (2 x)$ dengan $2 (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2

Tambahkan $2 \cdot - 1$ dan $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.3

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ sebagai ${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$- 4 (- 2 {(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$8 ({(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} \cdot 2$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 {(2 x - 1)}^{- 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $16$ dan $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{16}{{(2 x - 1)}^{3}}$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]$

Langkah 3.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$ sebagai ${({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$16 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$16 (- 3 {(2 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $16$ .

$- 48 ({(2 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} \cdot 2$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 48$ .

$- 96 {(2 x - 1)}^{- 4}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 96 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $- 96$ dan $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 96}{{(2 x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f''' (x) = - \frac{96}{{(2 x - 1)}^{4}}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $- 96$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{96}{{(2 x - 1)}^{4}}$ terhadap $x$ adalah $- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}]$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}]$

Langkah 4.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$ sebagai ${({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}]$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 4}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 4}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$- 96 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$- 96 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$- 96 (- 4 {(2 x - 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 96$ .

$384 ({(2 x - 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} \cdot 2$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $384$ .

$768 {(2 x - 1)}^{- 5}$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$768 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Langkah 4.4.2

Gabungkan $768$ dan $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$ .

$\frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$