Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{t^{2}}$ dan ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ sehingga $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{1}{t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{t}$ sebagai $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Langkah 2.1.4.2

Kurangi $\frac{1}{t^{2}}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{u^{4}}{4}$ pada $2$ dan pada $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Langkah 6.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Langkah 6.2.4

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Langkah 6.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Langkah 6.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Langkah 6.2.7.2

Kurangi $81$ dengan $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Langkah 6.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{65}{4}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Langkah 6.2.10

Kalikan $\frac{65}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{65}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{65}{4}$

Bentuk Desimal:

$16.25$

Bentuk Bilangan Campuran:

$16 \frac{1}{4}$

Langkah 8