Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{3} \cdot \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{3} \cdot \sin (2 x) d x + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (2 x) d x + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 4

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 7

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (3 x) d x$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 9.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3 \cdot 2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 12.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$- \frac{\cos (u_{1})}{6} + \frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{6} + \frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{6} + \frac{1}{6} \sin (3 x) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{6} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \sin (3 x) + C$