Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

Langkah 1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (x)$ menjadi $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Langkah 2

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Langkah 3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 4

Gunakan identitas pythagoras untuk mengubah $3$ menjadi $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangi $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Langkah 5.2

Tambahkan $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ dan $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6

Mengalikan argumrn dari $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 7.2

Kalikan ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $\sec (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Faktorkan $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ dari $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 8.5

Tulis kembali $\sec (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Langkah 8.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8.8

Gabungkan $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 9

Konversikan dari $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ ke $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 10

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 10.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

Langkah 11.3

Gabungkan $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ dan $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 11.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 13

Biarkan $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Langkah 13.1.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 14

Tulis kembali $5$ sebagai ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 15

Integral dari $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ .

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Langkah 16.2

Tulis kembali $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ sebagai $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ .

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Langkah 16.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\tan (u_{1})$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Kalikan $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

Langkah 18.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kalikan $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

Langkah 18.2.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

Langkah 18.2.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

Langkah 18.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

Langkah 18.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

Langkah 18.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Langkah 18.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Langkah 18.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Langkah 18.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Langkah 18.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

Langkah 18.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

Langkah 18.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$