Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Kemudian $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Langkah 2.1.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Langkah 2.1.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x^{1 - 2}$

Langkah 2.1.8

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- x^{- 1}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$