Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 49}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 7 \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 7 \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $7 \sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $49$ dari $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t)) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $49$ dari $- 49$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $49$ dari $49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t) - 1)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \tan^{2} (t)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $49 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(7 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \tan (t))}^{2}}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7 \tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $7 \tan (t)$ dari ${(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $7 \tan (t)$ dari $7 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) {(7 \sec (t))}^{2}} (7 \tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 \sec (t))}^{2}} d t$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $7$ dari $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 (\sec (t)))}^{2}} d t$

Langkah 2.2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $7 (\sec (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{7^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.3.3

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $\sec (t)$ dan $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.4.1

Kalikan dengan $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.4.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Langkah 2.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Langkah 2.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{49 \sec (t)} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{49}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{49}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Langkah 4.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{49} \int 1 \cos (t) d t$

Langkah 4.3

Kalikan $\cos (t)$ dengan $1$ .

$\frac{1}{49} \int \cos (t) d t$

Langkah 5

Integral dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $\sin (t)$ .

$\frac{1}{49} (\sin (t) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

$\frac{1}{49} \sin (t) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{x}{7})$ .

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{x}{7})) + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{1}{7} x)) + C$