Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = 2 \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.7

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.8

Kalikan eksponen dalam ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.8.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.8.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.9

Tulis kembali $64 \tan^{6} (t)$ sebagai ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $2 \tan (t)$ dari $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $2 \tan (t)$ dari $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\sec (x)$ sebagai $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5.2

Terapkan identitas timbal-balik.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 5.3.2

Gabungkan.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 5.3.3

Kalikan $\csc (t)$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 5.3.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 5.3.5

Gabungkan $\cot (t)$ dan $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 5.3.6

Kurangi pernyataan $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 5.3.6.2

Faktorkan $\cot (t)$ dari ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 5.3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 5.3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Langkah 5.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Langkah 6

Karena turunan dari $- \csc (t)$ adalah $\csc (t) \cot (t)$ , maka integral dari $\csc (t) \cot (t)$ adalah $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $arcsec (\frac{x}{2})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Oleh karena itu, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ adalah $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.3

Gabungkan.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{x}{2}$ dan $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.4

Kalikan $\frac{x + 2}{2}$ dengan $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.6

Tulis kembali $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.6.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.6.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.6.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Langkah 9.1.5.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.7

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.7.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.7.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.7.2

Bagilah $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.8

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.2

Naikkan $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.3

Naikkan $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6

Tulis kembali ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ sebagai $(x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ sebagai ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Langkah 9.1.9.6.5

Sederhanakan.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Langkah 9.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Langkah 9.3

Kalikan $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Langkah 9.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$