Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali $\tan^{6} (t)$ sebagai ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $\tan (t)$ dari $\tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $\tan (t)$ dari $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\sec (x)$ sebagai $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 4.2

Terapkan identitas timbal-balik.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 4.3.2

Gabungkan.

$\int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 4.3.3

Kalikan $\csc (t)$ dengan $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 4.3.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 4.3.5

Gabungkan $\cot (t)$ dan $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 4.3.6

Kurangi pernyataan $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 4.3.6.2

Faktorkan $\cot (t)$ dari ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 4.3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 4.3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Langkah 4.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\int \csc (t) \cot (t) d t$

Langkah 5

Karena turunan dari $- \csc (t)$ adalah $\csc (t) \cot (t)$ , maka integral dari $\csc (t) \cot (t)$ adalah $- \csc (t)$ .

$- \csc (t) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (x)$ .

$- \csc (arcsec (x)) + C$