Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} - x + 3}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{3} - x + 3$ dengan $x^{2} + x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} - x + 2$

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

$2 x$

$1$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x - 1 + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = x^{2} + x - 2$ . Kemudian $d u = (2 x + 1) d x$ sehingga $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x^{2} + x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 5.1.5

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Langkah 5.1.6

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$2 x + 1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x^{2} + x - 2 |) + C$