Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{4}$ dengan $x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} + 0 + 4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 x^{2} + 0 - 16$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{2} d x + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 5

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $4$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Langkah 6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 16 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $16$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{16}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{8}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 8.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Langkah 8.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$