Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

Langkah 3

Karena $27$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $27$ keluar dari integral.

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

Langkah 4

Faktorkan $\sin^{2} (t)$ .

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $1 - \cos^{2} (t)$ .

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Langkah 6

Biarkan $u = \cos (t)$ . Kemudian $d u = - \sin (t) d t$ sehingga $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = \cos (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (t)$ .

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arcsin (\frac{x}{3})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Oleh karena itu, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ adalah $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \frac{x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.8

Kalikan $\frac{3 + x}{3}$ dengan $\frac{3 - x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.9

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.10

Tulis kembali $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.10.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(3 + x) (3 - x)$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.10.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.10.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.1.12

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

Langkah 12.3

Terapkan sifat distributif.

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.4.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.5

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Langkah 12.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$