Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{3} + 1$ dengan $x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 - x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

$1$

Langkah 1.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x + \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 4

Pisahkan pecahan $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = x^{2} - 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{1} = x^{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 10

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 10.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 10.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Langkah 10.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Langkah 10.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x - 1)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.4

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 10.1.7.5.2

Bagilah $(B) (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Langkah 10.1.7.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Langkah 10.1.7.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Langkah 10.1.8

Pindahkan $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Langkah 10.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 10.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = - 1 A + B$

Langkah 10.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 10.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 10.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 10.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = - 1 A + B$ dengan $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Langkah 10.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (- B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1.1

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Langkah 10.3.2.2.1.1.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Langkah 10.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Langkah 10.3.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Langkah 10.3.3.2

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 10.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 10.3.3.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 10.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 10.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 10.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 10.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 10.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 10.5.2

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 10.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 10.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Langkah 10.5.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 14

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 14.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 14.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 14.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 14.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 14.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 15

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 16

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 17

Biarkan $u_{3} = x - 1$ . Kemudian $d u_{3} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Biarkan $u_{3} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 17.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 17.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 17.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 17.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 17.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Langkah 18

Integral dari $\frac{1}{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Langkah 19

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Langkah 20

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Langkah 20.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Langkah 20.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$