Kalkulus Contoh

$\int \frac{4 x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Langkah 1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Langkah 2

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Langkah 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 2.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.6.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{A {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x + 1)$ dengan $1$ .

$x = (A) (x + 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$x = A x + A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{2}$ dan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.4.1

Faktorkan $x - 1$ dari $(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = A x + A + \frac{B (x - 1) (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.4.2.4

Bagilah $B (x - 1) (x + 1)$ dengan $1$ .

$x = A x + A + B (x - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + (B x + B \cdot - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B$ .

$x = A x + A + (B x - 1 \cdot B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.7

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$x = A x + A + (B x - B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.8

Perluas $(B x - B) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.8.1

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x (x + 1) - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.8.2

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.8.3

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.9.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.9.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$x = A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9.1.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9.2

Kurangi $B x$ dengan $B x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + 0 - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.9.3

Tambahkan $B x^{2}$ dan $0$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.10

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 2.1.7.10.2

Bagilah $(C) {(x - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + (C) {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2.1.7.11

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C ((x - 1) (x - 1))$

Langkah 2.1.7.12

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.12.1

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Langkah 2.1.7.12.2

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Langkah 2.1.7.12.3

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.1.7.13

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.13.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.1.7.13.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.1.7.13.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.1.7.13.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.1.7.13.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x + 1)$

Langkah 2.1.7.13.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 2 x + 1)$

Langkah 2.1.7.14

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1$

Langkah 2.1.7.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.15.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1$

Langkah 2.1.7.15.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Pindahkan $- B$ .

$x = A x + A + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x - B + C$

Langkah 2.1.8.2

Pindahkan $A$ .

$x = A x + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x + A - B + C$

Langkah 2.1.8.3

Pindahkan $A x$ .

$x = B x^{2} + C x^{2} + A x - 2 C x + A - B + C$

Langkah 2.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B + C$

Langkah 2.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A - 1 B + C$

Langkah 2.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Langkah 2.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Selesaikan $B$ dalam $0 = B + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Langkah 2.3.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Langkah 2.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $- C$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = A - 1 B + C$ dengan $- C$ .

$0 = A - 1 (- C) + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan $A - 1 (- C) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $- 1 (- C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 = A + 1 C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.2.2.1.1.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Tambahkan $C$ dan $C$ .

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.3

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + 2 C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + 2 C = 0$ .

$A + 2 C = 0$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.3.2

Kurangkan $2 C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Langkah 2.3.4

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- 2 C$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A - 2 C$ dengan $- 2 C$ .

$1 = (- 2 C) - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kurangi $2 C$ dengan $- 2 C$ .

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.5

Selesaikan $C$ dalam $1 = - 4 C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 4 C = 1$ .

$- 4 C = 1$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.5.2

Bagi setiap suku pada $- 4 C = 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 C = 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.5.2.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Langkah 2.3.6

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $- \frac{1}{4}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $A = - 2 C$ dengan $- \frac{1}{4}$ .

$A = - 2 (- \frac{1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$A = - 2 (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$A = 2 (- 1) (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A = - 1 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.3

Kalikan $- 1 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.2.1.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Langkah 2.3.6.3

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $B = - C$ dengan $- \frac{1}{4}$ .

$B = - (- \frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.6.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.4.1

Kalikan $- (- \frac{1}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.6.4.1.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.7

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{2}, C = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5.5

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Langkah 2.5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Langkah 2.5.7

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4}$

Langkah 2.5.8

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x + 1$ .

$4 \int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$4 (\int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 6.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 9.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x))$

Langkah 13

Biarkan $u_{3} = x + 1$ . Kemudian $d u_{3} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{3} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 13.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 13.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 13.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Langkah 14

Integral dari $\frac{1}{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

$4 (- \frac{1}{2 u_{1}} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $x + 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{4}) + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |)) + C$