Kalkulus Contoh

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x} + 9 d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 7

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 9

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Langkah 10

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 9 d x$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 9 d x$

Langkah 11.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u) + \int 9 d x$

Langkah 13

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 9 d x$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{6}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 15.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 15.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 15.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 15.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Langkah 16

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + \int 9 d x$

Langkah 17

Terapkan aturan konstanta.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + 9 x + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{u} + 9 x + C$

Langkah 19

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$