Kalkulus Contoh

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

Langkah 1.2

Gabungkan $\frac{x \cdot 3}{2}$ dan $e^{- 6 x}$ .

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

Langkah 1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 6 x}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $e^{- 6 x}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $e^{- 6 x}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Langkah 6.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

Langkah 8

Biarkan $u = - 6 x$ . Kemudian $d u = - 6 d x$ sehingga $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = - 6 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$- 6$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

Langkah 9.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Langkah 12.2

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Langkah 13

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tulis kembali $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ sebagai $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 14.2.2

Gabungkan $e^{- 6 x}$ dan $\frac{x}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 14.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{36}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 6 x$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.2.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Langkah 16.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

Langkah 16.5.2

Faktorkan $3$ dari $36$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

Langkah 16.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

Langkah 16.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

Langkah 16.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

Langkah 16.7

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Langkah 16.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Langkah 16.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Langkah 16.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ .

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$