Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Langkah 1

Terapkan rumus reduksi.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Langkah 2

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\ln (| \sin (x) |)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Untuk menuliskan $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.1.3.2

Gabungkan $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Langkah 3.1.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Langkah 3.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Langkah 3.2.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Langkah 3.2.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Langkah 3.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Langkah 3.2.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Langkah 3.2.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Langkah 3.2.8

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Langkah 3.2.9

Kurangi $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Langkah 3.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Langkah 3.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Langkah 3.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Langkah 3.2.10.2.4

Bagilah $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Langkah 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ mendekati $0.70710678$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Langkah 3.3.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Langkah 3.3.4

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Bentuk Desimal:

$0.15342640 \dots$