Kalkulus Contoh

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \sec (x)$ . Kemudian $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Langkah 2.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Langkah 2.3.3

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.3.4

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 2.3.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 2.3.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 2.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 2.3.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.3.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.3.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.3.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.3.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 2.3.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.6.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 2.5.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 2.5.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 2.5.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 2.5.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 2.5.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.5.4.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} u d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $\sqrt{2}$ dan pada $\sqrt{2}$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.1.5

Evaluasi eksponennya.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Langkah 5.2.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Langkah 5.2.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (1 - \frac{2^{1}}{2})$

Langkah 5.2.3.5

Evaluasi eksponennya.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (1 - 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (1 - 1)$

Langkah 5.2.6

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 \cdot 0$

Langkah 5.2.7

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0$