Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 2.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 2.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 2.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 2.5.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 5.3

Kalikan $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ pada $1$ dan pada $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Langkah 8.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Langkah 8.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Langkah 8.1.4.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Langkah 8.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Langkah 8.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Langkah 8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 - 3}{8}$

Langkah 8.5

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{8}$

Bentuk Desimal:

$0.125$