Kalkulus Contoh

$\int \sin^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{2}$ dan $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 5

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ dengan $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{4} d u_{1}$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Langkah 8.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2})$

Langkah 11

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.1.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{1}{16} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2

Perluas $(1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{16} \int 1 (1 + \cos (u_{2})) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cdot 1 - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.4

Pindahkan $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.5

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.6

Kalikan $\cos (u_{2})$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.8

Buang faktor negatif.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2.9

Naikkan $\cos (u_{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2.10

Naikkan $\cos (u_{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})) d u_{2}$

Langkah 11.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - {\cos (u_{2})}^{1 + 1} d u_{2}$

Langkah 11.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.13

Kurangi $\cos (u_{2})$ dengan $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2.14

Kurangi $\cos^{2} (u_{2})$ dengan $0$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{16} (\int d u_{2} + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 15

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{2})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 16

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 17

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 18

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 19

Biarkan $u_{3} = 2 u_{2}$ . Kemudian $d u_{3} = 2 d u_{2}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Biarkan $u_{3} = 2 u_{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Diferensialkan $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Langkah 19.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{2}$ , turunan dari $2 u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Langkah 19.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 19.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 19.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}))$

Langkah 20

Gabungkan $\cos (u_{3})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}))$

Langkah 21

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Langkah 22

Integral dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)))$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{16} (u_{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 23.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Untuk menuliskan $u_{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 23.2.2

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 23.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2 - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 23.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 \cdot u_{2} - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 23.2.5

Kurangi $u_{2}$ dengan $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 24

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Langkah 24.2

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Langkah 24.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Langkah 24.4

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{4}) + C$

Langkah 24.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Langkah 25

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Langkah 25.1.1.2

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Langkah 25.1.2

Kalikan $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{4}) + C$

Langkah 25.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.3.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.4

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Langkah 25.5

Kalikan $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.5.1

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{\sin (8 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{16 \cdot 4} + C$

Langkah 25.5.2

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{64} + C$

Langkah 26

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$