Kalkulus Contoh

$\int \sec^{4} (x) \tan^{3} (x) d x$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{3} (x) d x$

Langkah 1.2

Tulis kembali ${\sec (x)}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (x)$ sebagai $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \tan (x)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \tan (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{3} d u$

Langkah 4

Perluas $(1 + u^{2}) u^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Langkah 4.2

Kalikan $u^{3}$ dengan $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Langkah 4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} d u$

Langkah 4.4

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Langkah 4.5

Susun kembali $u^{3}$ dan $u^{5}$ .

$\int u^{5} + u^{3} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{5}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int u^{3} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Langkah 8

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$