Kalkulus Contoh

$\int t e^{- s t} d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Langkah 2

Gabungkan $t$ dan $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Langkah 4.2

Kalikan $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ dengan $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{s}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{s}$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Langkah 6

Biarkan $u = - s t$ . Kemudian $d u = - s d t$ sehingga $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - s t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Langkah 6.1.2

Karena $- s$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- s t$ terhadap $t$ adalah $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- s$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{s}$ dan $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{s}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{s}$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{s}$ dengan $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Langkah 10.2

Naikkan $s$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Langkah 10.3

Naikkan $s$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Langkah 10.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Langkah 10.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Langkah 12

Tulis kembali $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$