Kalkulus Contoh

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ sebagai $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Langkah 5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Langkah 5.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Langkah 5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Langkah 5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 7.1.2

Kalikan $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ dengan $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 7.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Langkah 7.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

Langkah 9

Tulis kembali $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ sebagai $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$