Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = π$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Langkah 4.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 5

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $t$ pada $0$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Langkah 8.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $0$ dan pada $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Langkah 8.3

Kurangi $\frac{π}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Langkah 9.2

Kurangi $\sin (π)$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Langkah 9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Langkah 10.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 10.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Langkah 10.4

Tambahkan $- \frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Langkah 10.5

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 10.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{π}{4}$

Bentuk Desimal:

$- 0.78539816 \dots$