Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \sqrt[4]{4 x - 3} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sqrt[4]{4 x - 3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan ${(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x^{2} \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{5} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{5} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 x - 3$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int u^{\frac{5}{4}} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) \frac{1}{4} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ dengan $\frac{u}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5 + 4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.7

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.8

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Langkah 7.9

Kalikan $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4} d u$

Langkah 7.10

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{16} d u$

Langkah 8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} \int u^{\frac{9}{4}} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{9}{4}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{4}{13}$ dan $u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Langkah 13

Karena $\frac{3}{16}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{3}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{4}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{4}{9}$ dan $u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4 u^{\frac{9}{4}}}{9} + C))$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) + C$

Langkah 15.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Langkah 15.3.2

Gabungkan $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Langkah 15.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Langkah 15.3.4

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.5

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.6

Kalikan $- 5$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 10}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.7.1

Faktorkan $5$ dari $- 10$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.7.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 2}{1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 15.3.7.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - 3$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{5} (x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{1}{52} {(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}} + \frac{1}{12} {(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}})) + C$