Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{x} \ln (x^{2}) d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\sqrt{x} \ln (x^{2})$ sebagai $\sqrt{x} (2 \ln (x))$ .

$\int \sqrt{x} (2 \ln (x)) d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sqrt{x} (\ln (x)) d x$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = \sqrt{x}$ .

$2 (\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.4

Kalikan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x} d x)$

Langkah 4.5

Pindahkan $x^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}{3} d x)$

Langkah 4.6

Kalikan $x^{\frac{3}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}{3} d x)$

Langkah 4.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 4.6.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 4.6.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 4.6.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 4.6.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 4.6.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} d x)$

Langkah 5

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x))$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Langkah 7.2

Tulis kembali $2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$ sebagai $2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$ .

$2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$

Langkah 7.3

Susun kembali suku-suku.

$2 (\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C$