Kalkulus Contoh

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 1

Pisahkan pecahan $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 3

Biarkan $u = - 1 - v^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 v d v$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = - 1 - v^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 1 - v^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Langkah 3.1.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $- 1$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $- v^{2}$ terhadap $v$ adalah $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 v$

Langkah 3.1.4

Kurangi $2 v$ dengan $0$ .

$- 2 v$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Langkah 8

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 - v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Langkah 8.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Langkah 8.3

Faktorkan $- 1$ dari $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Langkah 8.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $- 1 (1 + v^{2})$ sebagai $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Langkah 9.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Langkah 11

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ terhadap $v$ adalah $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$