Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{3 + s} {(s + 1)}^{2} d s$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = {(s + 1)}^{2}$ dan $d v = \sqrt{3 + s}$ .

${(s + 1)}^{2} (\frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(3 + s)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(s + 1)}^{2} \frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Langkah 2.2

Gabungkan ${(s + 1)}^{2}$ dan $\frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{{(s + 1)}^{2} (2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(s + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $s$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s)$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 + s$ . Kemudian $d u = d s$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 + s$ . Tentukan $\frac{d u}{d s}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 + s$ .

$\frac{d}{d s} [3 + s]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + s$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$ .

$\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$

Langkah 4.1.3

Karena $3$ konstan terhadap $s$ , turunan dari $3$ terhadap $s$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [s]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ adalah $n s^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2) d u$

Langkah 5

Perluas $u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3 + 2) d u$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u) + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Langkah 5.4

Susun kembali $u^{\frac{3}{2}}$ dan $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Langkah 5.5

Pindahkan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Langkah 5.6

Susun kembali $u^{\frac{3}{2}}$ dan $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.7

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + 1} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.9

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.11

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.12

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.13

Tambahkan $- 6 u^{\frac{3}{2}}$ dan $2 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\int 2 u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 9

Karena $- 4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Untuk menuliskan $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 11.2.2

Gabungkan $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 11.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 11.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.6

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.2.7.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 + s$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 {(3 + s)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 {(3 + s)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4}{7} {(3 + s)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(3 + s)}^{\frac{5}{2}})) + C$