Kalkulus Contoh

$\int x^{3} + \sin (22 x) + \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{3} d x + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 22 x$ . Kemudian $d u_{1} = 22 d x$ sehingga $\frac{1}{22} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = 22 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $22 x$ .

$\frac{d}{d x} [22 x]$

Langkah 3.1.2

Karena $22$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $22 x$ terhadap $x$ adalah $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$22 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $22$ dengan $1$ .

$22$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (u_{1}) \frac{1}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 4

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{22}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{\sin (u_{1})}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{22}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{22}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 6

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {(x + 1)}^{3} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}) + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C$

Langkah 10.2.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{{u_{2}}^{4}}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{4 \cdot 4} + C$

Langkah 10.2.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $22 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{16} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{22} \cos (22 x) + \frac{1}{16} {(x + 1)}^{4} + C$