Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \cos (x^{4} + 6) \sqrt{\sin (x^{4} + 6)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{4} + 6$ . Kemudian $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{4} + 6$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{4} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 6]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.4

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$4 x^{3}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{4} \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ dan $\sqrt{\sin (u_{1})}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})}}{4} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{2}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 8

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\sin (u_{1})}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 8.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{4} + 6$ .

$\frac{1}{6} {\sin (x^{4} + 6)}^{\frac{3}{2}} + C$