Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{3} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{2} \cdot 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2} \cdot 3$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 3 \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- 3 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Langkah 4.5

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Langkah 6.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x)}{2} x d x)$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{2 \sin (2 x)}{2}$ dan $x$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Langkah 6.6.2

Bagilah $\sin (2 x) x$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) x d x)$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Langkah 8.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Langkah 8.3

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Langkah 10.2

Kalikan $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x))$

Langkah 12

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u))$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u))$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 15.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Langkah 16

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Tulis kembali $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$ sebagai $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Langkah 17.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Untuk menuliskan $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 17.2.2

Gabungkan $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 17.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 17.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{6}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 17.2.6.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Langkah 18

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 \frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.1.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.1.2.3

Kalikan $3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.1.2.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.1.3

Sederhanakan setiap suku.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3} \cos (2 x)$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.3

Faktorkan $- 1$ dari $\frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.5

Faktorkan $- 1$ dari $\frac{3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.7

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{3 \sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.9

Tulis kembali $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ sebagai $- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 19.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} - \frac{3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 19.13

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} (x^{3} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x^{2} \sin (2 x) - \frac{3}{2} x \cos (2 x) + \frac{3}{4} \sin (2 x)) + C$