Kalkulus Contoh

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $4 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 2 \sin (t) + 2 d t$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Langkah 5

Integral dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $- \cos (t)$ .

$2 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$2 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Langkah 7

Sederhanakan.

$- 2 \cos (t) + 2 t + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2})) + 2 \arcsin (\frac{x}{2}) + C$

Langkah 9

Susun kembali suku-suku.

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + 2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + C$