Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 2

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $- \cos (x)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Langkah 7.2

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 7.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Langkah 7.3.4

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.3.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Langkah 8.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Langkah 8.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Langkah 8.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Langkah 8.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 8.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + 1}{2}$

Langkah 8.7

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{2}$

Bentuk Desimal:

$1.5$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{1}{2}$