Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Langkah 1.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Langkah 5

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{2 π}{3}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)$

Langkah 6.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)$

Langkah 6.3

Tambahkan $\sin (\frac{2 π}{3})$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 6.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}$

Langkah 7.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

Langkah 7.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 7.3

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.43301270 \dots$