Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 - \cos (2 t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $6$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- \cos (2 t)$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Langkah 2.1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Langkah 2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Langkah 2.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Langkah 2.1.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Langkah 2.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Langkah 2.3.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Langkah 2.3.2

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$u_{lower} = 5$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Langkah 2.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Langkah 2.5.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.5.1.4

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Langkah 2.5.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$u_{upper} = 7$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.3

Kalikan $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Langkah 7

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $7$ dan pada $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Langkah 8

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $7$ adalah $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Langkah 9.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $5$ adalah $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (\frac{7}{5})$

Bentuk Desimal:

$0.33647223 \dots$