Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 6 x$ . Kemudian $d u_{1} = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 6 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Langkah 2

Gabungkan $\sin^{3} (u_{1})$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Faktorkan $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 6.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 6.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Langkah 10

Gabungkan $- u_{2}]_{1}^{0}$ dan $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 11.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Langkah 11.2.7

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Langkah 11.2.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Langkah 11.2.11.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Langkah 11.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Langkah 11.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Langkah 11.2.14

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Langkah 11.2.15

Tambahkan $0$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 11.2.16

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Langkah 11.2.17

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{2}{18}$

Langkah 11.2.18

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.18.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Langkah 11.2.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.18.2.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Langkah 11.2.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Langkah 11.2.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{9}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{1}$