Kalkulus Contoh

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

Langkah 1

Biarkan $u = 5 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 5 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $5 - y$ .

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 1.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.2

Buang faktor negatif.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.7

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.8

Susun kembali $- u^{\frac{1}{2}}$ dan $5 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 7

Karena $5$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - y$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Untuk menuliskan $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 13.2

Gabungkan $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 13.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Langkah 13.4

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$