Kalkulus Contoh

$\int \frac{y}{(y + 4) (2 y - 1)} d y$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{y + 4}$

Langkah 1.1.2

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(y + 4) (2 y - 1)$ .

$\frac{y (y + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) (2 y - 1)} = \frac{(A) (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (y + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) (2 y - 1)} = \frac{(A) (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{(A) (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{(A) (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{(A) (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{A (y + 4) (2 y - 1)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.1.2

Bagilah $(A) (2 y - 1)$ dengan $1$ .

$y = (A) (2 y - 1) + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$y = A (2 y) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = 2 A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $A$ .

$y = 2 A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.5

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$y = 2 A y - A + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 A y - A + \frac{(B) (y + 4) (2 y - 1)}{2 y - 1}$

Langkah 1.1.6.6.2

Bagilah $(B) (y + 4)$ dengan $1$ .

$y = 2 A y - A + (B) (y + 4)$

Langkah 1.1.6.7

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 A y - A + B y + B \cdot 4$

Langkah 1.1.6.8

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $B$ .

$y = 2 A y - A + B y + 4 B$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan $A$ .

$y = 2 y A - A + B y + 4 B$

Langkah 1.1.7.2

Susun kembali $B$ dan $y$ .

$y = 2 y A - A + B y + 4 B$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan $- A$ .

$y = 2 y A + B y - A + 4 B$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $y$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 2 A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $y$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = - 1 A + 4 B$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = 2 A + B$

$0 = - 1 A + 4 B$

$1 = 2 A + B$

$0 = - 1 A + 4 B$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Selesaikan $B$ dalam $1 = 2 A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 A + B = 1$ .

$2 A + B = 1$

$0 = - 1 A + 4 B$

Langkah 1.3.1.2

Kurangkan $2 A$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 1 - 2 A$

$0 = - 1 A + 4 B$

$B = 1 - 2 A$

$0 = - 1 A + 4 B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $1 - 2 A$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = - 1 A + 4 B$ dengan $1 - 2 A$ .

$0 = - 1 A + 4 (1 - 2 A)$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 A + 4 (1 - 2 A)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1.1

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$0 = - A + 4 (1 - 2 A)$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$0 = - A + 4 \cdot 1 + 4 (- 2 A)$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.2.2.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 = - A + 4 + 4 (- 2 A)$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.2.2.1.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$0 = - A + 4 - 8 A$

$B = 1 - 2 A$

$0 = - A + 4 - 8 A$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Kurangi $8 A$ dengan $- A$ .

$0 = - 9 A + 4$

$B = 1 - 2 A$

$0 = - 9 A + 4$

$B = 1 - 2 A$

$0 = - 9 A + 4$

$B = 1 - 2 A$

$0 = - 9 A + 4$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $A$ dalam $0 = - 9 A + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 9 A + 4 = 0$ .

$- 9 A + 4 = 0$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 9 A = - 4$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3.3

Bagi setiap suku pada $- 9 A = - 4$ dengan $- 9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $- 9 A = - 4$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{- 4}{- 9}$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{- 4}{- 9}$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3.3.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 9}$

$B = 1 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 9}$

$B = 1 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 9}$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 - 2 A$

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 - 2 A$

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 - 2 A$

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 - 2 A$

Langkah 1.3.4

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $\frac{4}{9}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $B = 1 - 2 A$ dengan $\frac{4}{9}$ .

$B = 1 - 2 (\frac{4}{9})$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Sederhanakan $1 - 2 (\frac{4}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1.1

Kalikan $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1.1.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{4}{9}$ .

$B = 1 + \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2.1.1.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$B = 1 + \frac{- 8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 + \frac{- 8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2.1.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$B = 1 - \frac{8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = 1 - \frac{8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$B = \frac{9}{9} - \frac{8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$B = \frac{9 - 8}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.4.2.1.2.3

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$B = \frac{1}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = \frac{1}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = \frac{1}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = \frac{1}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

$B = \frac{1}{9}$

$A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = \frac{1}{9}, A = \frac{4}{9}$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{2 y - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{4}{9}}{y + 4} + \frac{\frac{1}{9}}{2 y - 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{y + 4} + \frac{\frac{1}{9}}{2 y - 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{4}{9}$ dengan $\frac{1}{y + 4}$ .

$\frac{4}{9 (y + 4)} + \frac{\frac{1}{9}}{2 y - 1}$

Langkah 1.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4}{9 (y + 4)} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2 y - 1}$

Langkah 1.5.4

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{1}{2 y - 1}$ .

$\int \frac{4}{9 (y + 4)} + \frac{1}{9 (2 y - 1)} d y$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{9 (y + 4)} d y + \int \frac{1}{9 (2 y - 1)} d y$

Langkah 3

Karena $\frac{4}{9}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{4}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{y + 4} d y + \int \frac{1}{9 (2 y - 1)} d y$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = y + 4$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = y + 4$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 4.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{9 (2 y - 1)} d y$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{9 (2 y - 1)} d y$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{9} \int \frac{1}{2 y - 1} d y$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = 2 y - 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = 2 y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 7.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{9} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{9} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{18} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{4}{9} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{18} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\frac{4}{9} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{18} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 4$ .

$\frac{4}{9} \ln (| y + 4 |) + \frac{1}{18} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 y - 1$ .

$\frac{4}{9} \ln (| y + 4 |) + \frac{1}{18} \ln (| 2 y - 1 |) + C$